Page 101 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Se puede ahora escribir la soluci´ on particular
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
nn
d y d y a 0 a 0 1 (2e + e ) a n−1 (n−1) ) (4.4)

1
a 1 a 1
′ ′ −4t
2t
2t
−4t
a n−1 (n−1)
(e − e
y − . ..
+ f
=
y − −
y 3
dt dt e At = − − a n a n 4 a n a n y − . .. − − 6 a n a n yy + f(t) (t) (4.4)
nn =
2t
2t
(e − e −4t ) 1 (e +2e −4t )
3 3
y se hacen los cambios de variables 1 4e +2e −4t e − e −4t
y se hacen los cambios de variables
2t
2t
=
2t
6 8e − 8e −4t 2e +4e −4t
2t
(4.5)
(n−1)
y =
=
y = x 1 , x 1 , y = x 2 , x 2 , . .., .., yy (n−1) = x n x n (4.5)
′ ′
.
y =
se observa que que
se observa

s
4s
1 4e −2s +2e 4s e −2s − e 4s 0 1 e (e −2s − e )
e −As F(s)= =
(n−1)
(n−1) s
s
′′ ′′ −2s
4s
y = x = x 2 , x 2 , 6 8e y = x = −2s . .., .., 4s yy e = xx 6 = x n , x n , (2e −2s yy +4e =) ′ ′
(n) (n) 4s
′ ′
− 8e
y = x = x 3 , x 3 , 2e
= xx
. +4e
=e
=
′ ′
′ ′
y = x =
′ ′
n−1
nn
2 2
1 1
n−1

1 e −s − e 5s
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
=
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5):
6 2e −s +4e 5s
xx =
′ ′
1 1 = x 2 x 2
xx =
′ ′
2 2 = x 3 x 3
. .
. .
. .
t 1 (e −s − e )ds 1 (−e −s − e )
t t
5s
1 5s
e −As F(s)ds = t t 0 = 5 t 0 t
=
′ ′
6 (2e xx = x n x n 6 (−2e −s + e )
−s
5s
n−1 +4e )ds
4 5s
t 0 n−1 5
t 0 t 0

y en consecuencia 1 (−e −t − e ) − (−1 − )
y en consecuencia
1
1 5t
= 5 5
a 0 a 0
a n−1
a 1 a 1 4 5t
6
(4.6)
x 1 − − + e ) − (−2+ )
x = − − (−2e −t x 2 − . .. − − a n−1 4 x n + f (4.6)
x n + f(t) (t)
x 2 − . ..
x =
′ ′
x 1
nn
a n a n a n a n 5 a n a n 5
−t 5t
1 −5e −e +6
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
5
=
5t
6 −10e −t +4e +6
5
Ejemplo 4.1 4.1
Ejemplo
5t
1 −5e −t − e +6
=
30
−t
5t
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden +4e +6
−10e
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′′ ′′
′′ ′′
′ ′
2y − 6y +4y − y = sen(t)

2t
5t
2t
t 1 4e +2e −4t e − e −4t −5e −t − e +6
1
e At e −As F(s)ds = 2t −4t 2t −4t −t 5t
a la forma normal. 6 30 8e − 8e 2e +4e −10e +4e +6
a la forma normal.
t 0

5t
5t
2t
1
(4e +2e
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on on 2t −4t )(−5e −t − e +6)+ (e − e −4t )(−10e −t +4e + 6)
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´
=
5t
5t
180 (8e − 8e −4t )(−5e −t − e +6)+ (2e +4e −4t )(−10e −t +4e + 6)
2t
2t
yy 11
− 2y +3y + +
− 2y +3y
sen(t)
y
sen(t)
y = =
′′ ′′
′ ′
′′ ′′
Las operaciones de los polinomios del vector resultado se muestran a continuaci´ on. Para el elemento
22
22
(1,1)
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que que
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces
′′ ′′
′ ′
t
′ ′4e
′ ′ − 2e + 24e + 12e
−20e − 10e −5t − −7t t 2t −4t −
y = x = x 2 , x 2 , y = x = x 3 , x 3 , y = xx
y = x =
y =
y = x =
′ ′
′′ ′′
′′′′′′
′ ′
1 1
3 3
2 2
t
t
2t
2t
t
10e +4e −7t +6e + 10e −5t − 4e − 6e −4t = −30e + 30e +6e −4t
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
Para el elemento (2,1):
x 1 x 1 11
x
sen(t)
x = = 22 − 2x 2 +3x 3 + + 22 sen(t)
′ ′
− 2x 2 +3x 3
3 3
t
t
2t
7t
5t
−40e − 8e − 48e + 40e +8e − 48e −4t −
2t
t
t
2t
7t
t
20e +8e + 12e − 40e −5t + 16e 24e −4t = −36e + 60e − 24e −4t
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hernandez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May´ 101