Page 45 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenII: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Parte II: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Parte
Nota
5. Integre
Nota 2.12.1 ambos miembros de la ecuaci´ on encontrada en el paso 4 y despeje la variable y.
En
En una ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya queuna ecuaci´ on diferencial de variables separables no hay necesidad de usar dos constantes de integraci´ on ya que
Ejemplo 2.15

A(x)dx + c + + B(y)dy + c = = 0= c
B(y)dy + c 22
A(x)dx + c 11
0= c 33
6 x
Resolver x dy − 4y = x e
dx A A(x)dx +(x)dx + B B(y)dy(y)dy = c 3 − c 1 − c 2 = c− c 1 − c 2 = c
Soluci´ on: Empleando el m´ etodo descrito anteriormente = c 3
donde c es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeoc es completamente arbitraria. En muchas ocasiones, en el transcurso de los ejemplos siguientes, no habr´ a ning´ un titubeo
donde
1. Se divide toda la ecuaci´ on entre x
en en rescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinacionesrescribir las constantes de manera que convenga a la ecuaci´ on dada. Por ejemplo, m´ ultiplos de constantes o combinaciones
4
dy
− y = x e
de de constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante.constantes pueden a veces remplazarse por una sola constante. 5 x (2.30)
dx x
2. Se identifica P(x) y se determina el factor integrante µ(x)
Cabe
Cabe se˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo lase˜ nalar que al resolver este tipo de ecuaci´ on diferencial se tendr´ a que utilizar a menudo la
integraci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-graci´ on por partes, fracciones parciales o posiblemente sustituci´ on trigonom´ etrica y cambios de va-
inte P(x)= − , µ(x)= e P(x)dx = e −4 dx −4 ln x = e ln x −4 = x −4
4
x = e
x
riable.
riable. Por lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculoPor lo tanto, es recomendable que los alumnos empleen sus conocimientos elementales de C´ alculo
3. Ahora se multiplica (2.30) por el factor integrante
Diferencial
Diferencial e Integral.e Integral.
Por dy
Por otra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidadotra parte, al resolver las integrales conviene emplear propiedades logar´ ıtmicas con la finalidad
4
−4
5 x
x −4 − x −4 y = x (x e )
de simplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadassimplificar la expresi´ on de la soluci´ on correspondiente. Las propiedades logar´ ıtmicas m´ as utilizadas
de dx x
son: x −4 dy − 4x y = xe x
son:
−5
dx
ln
ln A + ln B = ln ABA + ln B = ln AB
4. El lado izquierdo de la ecuaci´ on en el paso 3 es derivada del producto del factor integrante y la
la
A A
variable dependiente y. ln ln A − ln B = lnA − ln B = ln , , B B ̸=0̸=0
d −4 B B x
[x
P P ln A = ln Aln A = ln A P P y]= xe
dx
u
u
u = ln e= ln e
u
5. Integrando ambos lados de la igualdad. En este caso se utiliza integraci´ on por partes con u = x,
du = dx, dv = e dx y v = e . ln ln uu = = uu
x
x
e e

ln ln A = ln B → A = BA = ln B → A = B
−4
x
x y = xe dx
Enseguida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-guida se ilustran algunos ejemplos donde se resuelven ecuaciones diferenciales de variables separa-
Ense
x
x
−4
x y = xe − e dx
bles.
bles.
x
−4
x
x y = xe − e + c
Ejemplo
Ejemplo 2.12.1
4 x
5 x
y = x e − x e + cx 4
Resolv dy dy = = 1+ e1+ e 2x 2x
Resolverer
dx dx
Soluci´
Soluci´ on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)on: La ecuaci´ on diferencial puede escribirse como en la forma (2.2)
Ejemplo 2.16 (1 + e 2x 2x
(1 + e )dx − dy =0)dx − dy =0
Resolver dy − 3y =0
de
de manera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtienemanera que es de variables separables. Integrando cada t´ ermino se obtiene
dx
Soluci´ on:
2x 2x
dy ==
(1 + e
(1 + e )dx −)dx −
1. La ecuaci´ on ya esta en la forma (2.25) dy 0 0
1 1 2x 2x
x + ee
− y = cy = c
x +
2. Se identifica P(x)= −3 y f(x)=0 para obtener el factor integrante µ(x)
−
2 2
1 1
2x 2x
y = x +
−3x
dx
−3
e P(x)dx = e y = x + ee − − cc
= e
2 2
Dr Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ 45
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May andez, Dr. L. de la Cruz May