Page 108 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Reducci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales a la forma normal o
4.2.2.
5.1. Introducci´ on
Definici´ on 5.2 Se dice que una funci´ on f es de orden exponencial si existen numeros c, M> 0 y T> 0
tales que |f(t)|≤ Me para t>T.
ct
can´ onica
En esta parte se estudia la Transformada de Laplace como un caso particular de las transformacio-
´
NOTACION: Para una exposici´ on en t´ erminos generales, se utilizar´ a una letra min´ uscula para denotar
Para reducir un sistema de ecuaciones diferenciales a la forma lineal normal, es necesario resolver el
nes integrales. Se estudian sus propiedades y se establece qu´ e es una transformaci´ on lineal. Adem´ as, se
la funci´ on que se transforma, y la correspondiente letra may´ uscula para representar su transformada de
sistema para la derivada de mayor orden de cada variable dependiente. No obstante, esto no es siempre
determinan las transformadas de las funciones m´ as comunes y sus respectivas inversas construyendo las
Laplace; por ejemplo,
posible.
tablas con las f´ ormulas de las transformadas m´ as utiles. Tambi´ en se prueban y aplican los principales
Ejemplo 4.2 propiedades, las cuales resultan ´ utiles para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coefi-
teoremas y L {f(t)} = F(s), L {g(t)} = G(s), L {y(t)} = Y (s)
cientes constantes y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Se replantea
Reducir el siguiente sistema:
la soluci´ on
Ejemplo 5.1 de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden en su forma can´ onica pero ahora se
utiliza la transformada de Laplace para 2 t (4.7)
2 calcular la matriz exponencial al resolver sistemas homog´ eneos
(D − D + 5)x +2D y = e
Evaluar L {1}.
y no homog´ eneos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
2
Soluci´ on: −2x +(D + 2)y =3t 2 (4.8)
Los apuntes mostrados aqui fueron tomados de [1] y [5].

a la forma normal. ∞ b −e −st b

L {1} = e −st (1)dt = l´ım e −st (1)dt = l´ım
Soluci´ on: Reescribiendo el sistema b→∞ 0 b→∞ s 0
0
5.2. Preliminares −e −sb + e −s·0
= l´ım D x +2D y = e − 5x + Dx (4.9)
2
2
t
b→∞ s
El tratado de mec´ anica celeste desarrollado por el Marqu´ es Pierre Simon de Laplace marc´ o la uti-
2
2
(4.10)
1
D y =3t +2x − 2y
=
∀s> 0
,
lidad de la transformada del mismo nombre como una herramienta que permite resolver problemas de
s
Multiplicando (4.10) por (-2) y se suma a (4.9)
ecuaciones diferenciales e integrales. La potencialidad de ´ esta transformaci´ on nos permite la resoluci´ on
Es decir, cuando s> 0, el exponente −sb es negativo y e −sb → 0 cuando b →∞. Si s< 0, la integral
de problemas complicados transportando las funciones hacia un nuevo dominio de tal manera que s´ olo
diverge.
se necesita de procesos algebraicos elementales para lograrlo.
2
2
2
t
2
(D x +2D )+(−2D y)= (e − 5x + Dx)+(−6t − 4x +4y)
La caracter´ ıstica b´ asica de las transformaciones a tratar en esta unidad consiste en que cada una de
El uso del s´ ımbolo para l´ ımite se convierte en algo tedioso, por lo que ∞ (4.11)
D x = e − 6t − 9x +4y + Dx se adoptar´ a la notaci´ on | para
2
t
2
ellas opera sobre funciones y produce otras funciones. Obviamente, en la mayor´ ıa de los casos hay que
0
b
expresar en forma abreviada l´ım b→∞ ()| . Por ejemplo,
imponer restricciones a las funciones sobre las cuales la transformaci´ on es aplicable. A la funci´ on que
0
Si se hace Dx = u y Dy = v, entonces las ecuaciones (4.10) y (4.11) quedan ahora como:

−eormada de la funci´ on.
resulta despu´ es de una transformaci´ on se le llama transf −st b 1

∞

L {1} = e −st 2 = , ∀s> 0
t dt =
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0 anteriormente, una transformaci´ on es una operaci´ on que al
De acuerdo con lo que se ha descrito s 0 s
2
aplicarse a una funci´ on nos proporciona otra nueva funci´ on llamada transformada. Un ejemplo cotidiano
Dv =3t +2x − 2y
−sb
en donde se entiende que el l´ ımite superior e → 0 cuando b →∞ para s> 0.
e ilustrativo de lo que es una transformaci´ on es la derivaci´ on de funciones. Si se utiliza la letra D para
Por lo tanto el sistema original queda en la forma normal
Ejemplo 5.2
denotar al operador de derivaci´ on, esa transformaci´ on puede escribirse como
Evaluar L {t}. Dx = u ′ (5.1)
D[f(t)] = f (t)
Soluci´ on: Dy = v

adem´ as, n´ otese que si f(t)= ag(t)+ bh(t) donde a, b ∈R,
−st entonces
∞
e
tdt
L {t} =
t
2
Du = e − 6t − 9x +4y + u
0
D[f(t)] 2 = D[ag(t)+ bh(t)]
Dv =3t +2x − 2
1 −st
que se resuelve con integraci´ on por partes haciendo u = t, du = dt, dv = e −st dt y v = − e
s
como la derivada de dos funciones es la suma de las derivadas de cada funci´ on, es posible escribir:

∞ te −st ∞ 1 ∞ te −st e −st ∞

L {t} = e −st tdt = − + e −st dt = − − 2
D[f(t)]
s

0 s = D[ag(t)] + D[bh(t)] s s 0
0
0
−s·∞ −s·∞ −s·0 −s·0
e
e
0 · e
∞· e
Sistemas degenerados o degradados
4.2.3. as, cuando hay constantes involucradas, ´ estas pueden extraerse de la derivaci´ on, con lo cual la
Adem´
=
−
−
− −
−
expresi´ on anterior nos queda como s s 2 s s 2
Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que no pueden ser reducidos a un sistema lineal en
1
= , ∀s> 0 .
la forma normal son degenerados o degradados+ D[bh(t)] = ag (t)+ bh (t) (5.2)
′
D[f(t)] = D[ag(t)]
′
s
2
108 Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May