Page 109 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

P
Parte V: Transformada de Laplacearte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
donde
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′ ′
′ ′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-e que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
Observ
n
d y a 0 a 1 a n−1 (n−1)
(4.4)
y
′
ber: = − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funcioneson producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
+ f(t)
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ onla operaci´ on suma y la operaci´
y −
y − . .. −
dt n a n a n a n
se
se dice que es lineal si se verificadice que es lineal si se verifica
y se hacen los cambios de variables
(5.3)
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)][αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
T
′
y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
para
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en latodas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
se observa que
ecuacion
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones esanterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es
igual a la combinacion lineal de las transformadas.a la combinacion lineal de las transformadas.
igual
′′
′
y = x = x 2 , y = x = x 3 , . .., y (n−1) = x ′ = x n , y (n) = x ′
′
′
1 2 n−1 n
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integralesTransformaciones integrales
5.3.
5.3. Transformaciones
x ′ 1 = x 2
Las x ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en eltipo de transformaciones lineales de relevancia en el
Las transformaciones integrales constituyentransformaciones integrales constituyen un
= x 3
2
mundo
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considerade las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito ouna funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces laa ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
infinito
x ′ = x n
transformacion n−1
transformacion integral general viene dada porintegral general viene dada por
y en consecuencia
b b
a 0 a 1 a n−1
(4.6)
′
(5.4)
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)K(s, t)f(t)dt = F(s)
n T[f[f
x = − (t)] =T (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
a n a n a n
a a
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
donde
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= ede
temente −stst , , se obtiene else obtiene el
temente de lala naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
−
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
caso
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existenciaDefinici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
5.4. 2y − 6y +4y − y = sen(t)
′
′′
′′
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ onalculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
yc´
a la forma normal.
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on
Definici´
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) seon 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
define comocomo y = y − 2y +3y + 1 sen(t)
define
′′
′′
′
2 b b
2 ∞∞
(5.5)
f(t)dt = l´ım(t)dt = l´ım
f(t)dt.(t)dt.
L {f(t)} = F(s)={f(t)} = F(s)= e e −stst f e e −stst f (5.5)
L
−
−
b
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
′
′′ b→∞→∞
0 0
0 0
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valordice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
Se
′
1 existe.existe.
′′
de s; de otra manera se dice que nos; de otra manera se dice que no
′
de y = x = x 2 , y = x = x 3 , y = x ′ 3
′′′
′
2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.4.1.
5.4.1. Condiciones
Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}suficientes para la existencia de L {f(t)}
x 1 1
sen(t)
− 2x 2 +3x 3 +
x =
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
La
′
3
2
2
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f}. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
ten L {1/t} ni L {e t t 2 2
sea
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr 109
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May