Page 111 - Apuntes para el curso de Ecuaciones Diferenciales

Parte V: Transformada de Laplace
Parte V: Transformada de Laplace
Parte IV: Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
donde g (t) y h (t) son ahora las nuevas funciones, multiplicadas por sus respectivas constantes.
Sea una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n y que se escribe en la forma:
′
′
Observe que en (5.3), se cumple con las dos operaciones b´ asicas de toda transformaci´ on lineal, a sa-
n
Ejemplo 5.3 d y a 0 a 1 ′ a n−1 (n−1)
= − producto por un escalar. Una transformaci´ on general T de funciones
ber: la operaci´ on suma y la operaci´ on y − y − . .. − y + f(t) (4.4)
dt n a n a n a n
se dice que es lineal si se verifica
0, 0 ≤ t< 3;
y se hacen los cambios de variables
Evaluar L {f(t)} para f(t)= .
2,t ≥ 3.
T[αf(t)+ βg(t)] = αT[f(t)] + βT[g(t)] (5.3)
Soluci´ on: y = x 1 , y = x 2 , . .., y (n−1) = x n (4.5)
′
para todas las funciones admisibles y para todo par de constantes α y β. La simbologia empleada en la
se observa que
ecuacion anterior, nos muestra que la transformada de cualquier combinacion lineal de dos funciones es

3

∞
∞
L {f(t)} = e −st f(t)dt = e −st (0)dt + e −st (2)dt
igual a la combinacion lineal de las transformadas. 3
0
0
y = x = x 2 , y = x = x 3 , ∞ . .., y (n−1) ∞ = x ′ = x n , (n) = x ′
′
′
′
′′
y

1 2 2 n−1 2 2 n
=2 e −st dt = − e −st = − e −s·∞ − − e −s·(3)
s
s
s
con lo que se obtiene de (4.4) y (4.5): integrales
5.3. Transformaciones 2 3 3
= e −3s , x ′ ∀s> 0
s 1 = x 2
Las transformaciones integrales constituyen x ′ un tipo de transformaciones lineales de relevancia en el
= x 3
2
mundo de las matem´ aticas aplicadas. Si se considera . una funci´ on f(t) definida en un intervalo finito o
.
.
infinito a ≤ t ≤ b y si se toma una funci´ on fija K(s, t) de la variable t y del par´ ametro s; entonces la
x ′ = x n
transformacion integral general viene dada por n−1
y en consecuencia
Ejemplo 5.4
b
a 0 a 1 a n−1
(4.6)
′
n T[f
x = − (t)] = x 2 − . .. − x n + f(t) (5.4)
x 1 − K(s, t)f(t)dt = F(s)
a n a n a n
−1, 0 ≤ t< 1;
a
Evaluar L {f(t)} para f(t)= .
esta ´ ultima expresi´ on tiene la forma can´ onica ´ o normal.
t ≥ 1.
donde la funcion K(s, t) se llama n´ ucleo de la transformaci´ on T y obviamente T es lineal independien-
1,
Soluci´ on:
temente de la −st , se obtiene el
Ejemplo 4.1 naturaleza de K(s, t). Ahora bien, cuando a =0, b = ∞ y K(s, t)= e
caso especial de (5.4) que corresponde a la Transformada de Laplace.
Reducir la ecuaci´ on diferencial de tercer orden ∞
1

∞
L {f(t)} = e −st f(t)dt = e −st (−1)dt + e −st (1)dt
0
1
0
5.4. Definici´ on de transformada de Laplace, condici´ on de existencia
2y − 6y +4y − y = sen(t)
′
′′
′′
1

1

−st
−st
∞
e
e
∞

= − e −st dt + e −st dt = s + − s
yc´ alculo de transformadas de Laplace aplicando su definici´ on
a la forma normal. 0 1 0 1
e −s e −s·0 e −s·∞ e −s
Soluci´ on: Reescribiendo la ecuaci´ on = − + − −
s
s
s
s
Definici´ on 5.1 Sea f(t) una funci´ on definida para t ≥ 0. La Transformada de Laplace de f(t) se
e −s 1 e −s 1
y
define como = ′′ − 2y +3y + sen(t)
+
′
y =
′′
−
s 2 ∞ s s 2 b

L {f(t)} = F(s)= −s e −st f(t)dt = l´ım e −st f(t)dt. (5.5)
1
2e
y sean los siguientes cambios de variable y = x 1 , y = x 2 y y = x 3 . Se observa entonces que
∀s> 0
0 − ,
=
0
′
′′ b→∞
s
s
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe cuando la integral (5.5) converge para alg´ un valor
′′
′′′
′
de s; de otra manera se dice que no ′ 1 existe. y = x = x 3 , y = x ′ 3
′
y = x = x 2 ,
2
Usando estas ´ ultimas relaciones, la ecuaci´ on diferencial original se reescribe en su forma can´ onica
5.4.1. Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}
Ejemplo 5.5 x 1 1
x =
− 2x 2 +3x 3 +
sen(t)
′
La integral que define la transformada de Laplace no necesariamente converge. Por ejemplo, no exis-
3
2 2
2
4, 0 ≤ t< 2;
t
ten L {1/t} ni L {e }. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f
Evaluar L {f(t)} para f(t)= .
sea continua parte por parte en [0, ∞) y que f sea de orden exponencial para t>T .
0,t ≥ 2.
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May
Dr. J. A. Ruz Hern´ andez, Dr. J. L. Rull´ an Lara, Dr. R. Garc´ ıa Hern´ andez, Dr. L. de la Cruz May 111